Haskell の数値 – Int は型で、Num は型クラス

1. Haskell の数値の種類

Prelude の Numbers には、Haskell 数値型が挙げられてる。

これを Python の「3.2 標準型の階層」における Numbers と比較すると、

• Int      --- plain integer, int()
• Integer --- long integer, long()
• Float
• Double  --- floating point number, float()
• Rational

Float について、Python では、

Python は単精度の浮動小数点数をサポートしません; 単精度の数を使う理由は、通常プロセッサやメモリ使用量の節約ですが、こうした節約は Python でオブジェクトを扱う際のオーバヘッドに比べれば微々たるものにすぎません。

(3.2 標準型の階層 より)

ついでに、Ruby では、

Float の実装は C 言語の double で、その精度は環境に依存します。

(Float - Rubyリファレンスマニュアル より）

組み込みクラス／モジュール／例外クラス - Rubyリファレンスマニュアル via kwout

 

2. Int と Integer の違い

Prelude の data Int によると、Int は、

A fixed-precision integer type with at least the range [-2^29 .. 2^29-1].

Int に対して data Integer は、

Arbitrary-precision integers.

つまり、Int型 は表現できる範囲が決っているのに対して、Integer 型 は制限がない。

 

maxBound, minBound 関数で、表現できる範囲を調べる

Int 型は 2^29 の範囲を表現できることが保証されている。 実際に使える範囲を知るには、

「using minBound and maxBound from the Bounded class. 」

(data Int より) 。

maxBound は Bounded クラスのメソッドで、次のように定義されている。

maxBound :: a

ん？ (@_@;) 何だろう、このメソッドは。「引数が一つ？」かと一瞬思いきや、

引数はなく、返ってくるのは型変数 a ？

 

型クラスとインスタンスの関係を整理する

Bounded クラスを見ると、以下のように定義されている。

class  Bounded a  where
    minBound, maxBound :: a

型クラスの宣言で使われている型変数 a は、Bounded クラスのインスタンス。

例えば、Bool 型は、Bounded クラスのインスタンスとして定義されている。Bool 型の値は、True と False しかないので、最大・最小を考えやすい。以下のように定義されている。

instance Bounded Bool where
  minBound = False
  maxBound = True

この型クラスとインスタンスの表現は、慣れないと混乱する。(+_+) 基本的な事項を整理する。

上記の `instance’ は、

Bool 型が Bounded クラスのインスタンスである

ことを宣言している。

Bounded クラスでは、実装すべき関数は 2 つある。

• minBound
• maxBound

この関数の返す値は、Bounded クラスの定義を見ると、型変数 a とある。

class  Bounded a  where

この型変数 a は、任意の型ではなく、 Bounded クラスのインスタンス。

Bool 型を、Bounded クラスのインスタンスであると、定義したのを見直す。

instance Bounded Bool where
  minBound = False
  maxBound = True

minBound は False を返し、maxBound は True を返している。

このように書ける理由は、「Bool 型 は、Bounded クラスのインスタンスである」と、最初の行で宣言している。

よって、Bool 型の値は、Bounded クラスのインスタンスだから、

「 minBound, maxBound 関数を定義し、その関数は Bounded クラスのインスタンスである型ノ値でなくてはならない」

ということを満たすことになる。つまり、 Bool 型に対して maxBound を適用すると、Bounded クラスのインスタンスである Bool 型の値 True を返すということ。

(cf. Haskell の代数的データ型と型クラス、instance 宣言の関係)

 

maxBound を適用するときは、型を指定する

ghci で maxBound を呼出すと、

Prelude> maxBound

:1:0:
    Ambiguous type variable `a' in the constraint:
      `Bounded a' arising from a use of `maxBound' at :1:0-7
    Probable fix: add a type signature that fixes these type variable(s)

「型変数 a が曖昧だから型を付けろ！」ということかな。

Haskell : maxBound によると、以下のように型を指定する必要がある。

Prelude> maxBound :: Bool
True

なぜなら、maxBound 関数は、いろいろな型のインスタンス宣言で多重定義されているから、どの型に適用したいのか示さなければならない。

 

表現できる数値の確認

maxBound, minBound を使って限界を確認してみる。

  print $ 2 ^ 29 - 1       --  536870911
  print (maxBound :: Int)  -- 2147483647
  print $ 2 ^ 31 - 1       -- 2147483647
  print $ 0x7fffffff       -- 2147483647

  print $ - 2 ^ 29         --  -536870912
  print (minBound :: Int)  -- -2147483648
  print $ - 2 ^ 31         -- -2147483648
  print $ -0x80000000      -- -2147483648

(cf. 32ビット – Wikipedia)

 

Int 型は、境界となる値に気をつける

Int 型の範囲を調べるために、境界となる値を調べる関数 hoge を定義する。

hoge :: Int -> Int
hoge x = 2 ^ 31 + x

main = do
  print $ hoge (-1) --  2147483647
  print $ hoge 0    -- -2147483648

hoge 関数は、Int で表現できる範囲を超えると負の数になってしまう。

これを修正するには、toInteger を使う。

hoge :: Int -> Integer
hoge x = 2 ^ 31 + (toInteger x)

Int と Integer は型が異なるので、

  print $ hoge (0 :: Integer)

と書くと、

Couldn't match expected type `Int' against inferred type `Integer'

「Integer 型に適用しているけれど、そこは Int 型！」と、しっかり怒られる。

 

3. Float もあるけれど、Double を使えば良い

Float, Double については、各々以下を参照。

• 単精度 – Wikipedia --- Float
• 倍精度 – Wikipedia --- Double

先ほど述べたように、Python は Float に相当するものがない。Haskell も基本は Double 。

Floats (probably 32-bits) are almost always a bad idea, unless you Really Know What You Are Doing. Use Doubles. There's rarely a speed disadvantage—modern machines will use the same floating-point unit for both.

(Performance/Floating point – HaskellWiki より)

Float と Double では、パフォーマンスに滅多に差が出ないとのこと。

Float 、Double の型の定義を比較すると、同じ型クラスのインスタンスであることがわかる。

 

4. Rational は有理数

Rational は、有理数を表わす。

有理数（ゆうりすう、rational number）とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。b = 1 とすることにより、任意の整数は有理数として扱うことができる。

(有理数 – Wikipedia より)

Python で有理数を使うには、こちらを参照。

Haskell では、以下のように type で別名が与えられている。

type Rational = Ratio Integer

Data.Ratio によると、% によって Ratio a 型の値を作ることができる。

(%) :: Integral a => a -> a -> Ratio a

Rational を少数に変換するには、Fractional クラスの fromRational を使う。

fromRational :: Rational –> a

試してみる。

import Data.Ratio
main = do
  print $ 1 % 3                -- 1%3
  print $ 2 % 6                -- 1%3

  print $ fromRational (1 % 3) -- 0.3333333333333333

 

5. Num は型クラス

数値に関するエラーで、よく見かける Num 。

これは型ではなくて、型クラス。

class (Eq a, Show a) => Num a where

この型クラスにより、型に適用できる関数が定義されている。適用できる関数により、数値の型を分類していると言える。数値の型が、どの型クラスのインスタンスで、どのような関数を適用できるのか、確認しておくと良い。

 

数値の階層関係

階層関係を示すと、

• Num ------------------------ Eq a, Show a
• Real ------------------ Ord a
  • Integral --------- Enum a
• Fractional
• Floating

その他、RealFrac, RealFloat がある。

上記の階層関係における --- の右側のクラスは、Num の系統以外に、各々のクラスに制約として付いているクラス。

Num クラスでは、値が等しいかどうか分かればよく、順序関係を表す Ord クラスは、Real クラスで付けられている。

例えば、 「10 より大きいか検査する関数」を定義して、Num クラスの制約を付けたとする。

comp10 :: Num a => a -> Bool
comp10 x = x > 10

main = do
  print $ comp10 8

実行すると、

    Could not deduce (Ord a) from the context (Num a)
      arising from a use of `>' at numtest.hs:28:11-16

`>’  を適用することができないとエラーがでる。

少なくとも、comp10 関数の引数の制約は Real でなくてはだめということ。

 

6. まとめ

• Haskell における数値の表現には、色々な型がある。
• 数値の型は、型クラスの観点から分類されている。
• 型クラスは、数値に対する可能な操作を定義することによって、数の概念を表現している。